宝くじを100万円購入して億万長者になる確率とは？【統計】『ポアソン分布』
みなさん、こんばんは藤崎です。
1.はじめに
みなさん、宝くじを購入されたことはありますか？
誰しもが億万長者になることを期待して購入されたことがあるのではないのでしょうか。
私も購入したことがありますが、当然のように外れてしまいました。。。
宝くじを買って１億円当たるような人もいるようですが、どのくらいの確率なのか気になりました。
2.高額当選（1億円以上）確率とは
宝くじの高額当選（1億円以上）の割合は、公式からの案内により以下のように求められます。
（かなり低いのが分かると思います。。。）
\begin{eqnarray*}高額当選確率＝\frac{1等+2等}{3等+4等+5等+6等+7等+外れ^{※1}} \\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}＝\frac{66}{489,769,346}=1.34757310842398\times10^{-7} \\ \end{eqnarray*}
宝くじ公式サイト*1
※1外れくじは7等の10倍あると仮定する
3.求める確率
HIKAKINさんが年末ジャンボ宝くじを約100万円購入された動画を上げられています。
今回はHIKAKINさんが高額当選（1億円以上）していた確率を求めてみようと思います。
さすがトップYouTuberですね。私も実際にやってみたいですが、貯金がなくなるので宇やめときます。。。
4.計算
今回は宝くじの購入本数が3,333本※2と大きく、また高額当選確率が非常に小さいためポアソン分布に従うと仮定します。
※2：宝くじは300円/本とする。100万円/300円=3,333.33…のため3,333本とする
ポアソン分布
\begin{eqnarray*} P(X=k)= \displaystyle\frac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!} & (k=0,1,2, \cdots ) \\ \end{eqnarray*}
k = 高額当選数
e = ネイピア数
購入本数（試行回数）n= 3,333
期待値λ= 購入本数×高額当選確率=0.0004491461170377127
今回は億万長者になる確率を求めたいため、少なくとも高額当選数が1回起こる確率を求めます。
そのため、高額当選数が0回の場合から1を引くことで高額当選数が少なくとも1回以上である確率を求められます。
また、ポアソン分布にあてはめて計算していますが、手計算では困難なためpythonでプログラムを組み計算しました。
計算式
高額当選数が0回の確率
\begin{eqnarray*} P(X=0)= \displaystyle \frac{e^{-0.0004491461170377127} \times 0.0004491461170377127^{0}}{0!}=0.99955095473398 \\ \end{eqnarray*}
高額当選数が1回以上の確率
\begin{eqnarray*}1-0.99955095473398= 0.0004490452660199651 \\ \end{eqnarray*}
上記計算結果より、年末ジャンボ宝くじを100万購入して億万長者になる確率は0.0449%となります。
これは「アイドルと付き合える確率と」比べると高いですが、値が小さいためほぼ同等な確率ですね。
（引用元：AbemaTV）
最後に
宝くじを購入して億万長者になるのは夢のまた夢であるという現実を知りました。
もう少し期待値が高くてもいいのになと個人的に思いました。
また、今回はポアソン分布に従うと仮定して計算しましたが、二項分布に当てはめた場合の確率を求めて比較し、いくら数値差異が生じるのか見てもいいなと思いました。
また、計算に誤りがありましたらご指摘頂けると幸いです。
参考文献
https://bellcurve.jp/statistics/course/6984.html
